例題

問題

1. XとYとZを2次元正規分布とします、XとYとZはそれぞれ平均、分散、共分散が与えられた時、X+Y+Zを求めてください

回答

1. X+Y+Zは再生性より正規分布となる。$Var[X+Y+Z]=Var[X]+Var[Y]+Var[Z]+2×(Cov[X,Y]+Cov[Y,Z]+Cov[X,Z])$となるため、

$$ \begin{align}\mu_{X+Y+Z} &= \mu_X + \mu_Y + \mu_Z \\\sigma^2_{X+Y+Z} &= \sigma^2_X + \sigma^2_Y + \sigma^2_Z + 2(\rho_{XY} \sigma_X \sigma_Y + \rho_{YZ} \sigma_Y \sigma_Z + \rho_{XZ} \sigma_X \sigma_Z)\end{align} $$