$f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} + \frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} - \frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\right]\right)$
$$ \begin{align*} &\mu_X : x \text{の平均} \\ &\sigma_X : x \text{の標準偏差} \\ &\mu_Y : y \text{の平均} \\ &\sigma_Y : y \text{の標準偏差} \\ &\rho : x \text{と} y \text{の相関係数} \end{align*}
$$
$$ \begin{equation}\begin{align*} X &= \mu_X + \sigma_X Z_1 \\ Y &= \mu_Y + \sigma_Y \left( \rho Z_1 + \sqrt{1 - \rho^2} Z_2 \right) \end{align*}\end{equation} $$
又は
$$ \begin{equation}\begin{bmatrix}X \\Y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mu_X \\\mu_Y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\sigma_X & 0 \\\sigma_Y \rho & \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}Z_1 \\Z_2 \end{bmatrix}\end{equation} $$
線形変換行列$A$を下記で定義する。
$$ \begin{align} \mathbf{A} &= \left[ \begin{array}{cc} \sigma_X & 0 \\ \sigma_Y \rho & \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2} \end{array} \right] \end{align}
$$
分散共分散行列$\Sigma$とすると、下記が成り立つ。
$$ \begin{align}\Sigma &= \mathbf{A} \mathbf{I} \mathbf{A}^T \\&= \left[ \begin{array}{cc}\sigma_X & 0 \\\sigma_Y \rho & \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2}\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1\end{array} \right]\left[ \begin{array}{cc}\sigma_X & \sigma_Y \rho \\0 & \sigma_Y \sqrt{1 - \rho^2}\end{array} \right] \\&= \left[ \begin{array}{cc}\sigma_X^2 & \sigma_X \sigma_Y \rho \\\sigma_X \sigma_Y \rho & \sigma_Y^2 \end{array} \right]\end{align} $$